Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F,G\) des sous-espaces vectoriels de \(E\)
Montrer que : $$F\subset G\implies G^o\subset F^o$$

Si \(\alpha\in G^o\), alors \(\forall x\in G,\alpha(x)=0\),
Donc $$\alpha\rvert_F\equiv0\quad\text{ car }\; F\subset G$$

Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F,G\) des sous-espaces vectoriels de \(E\)
Montrer que : $$(F+G)^o=F^o\cap G^o$$

On procède par double-inclusion
\(\subset\) : si \(\alpha\in(F+G)^o\), alors $$\forall x\in F,\forall y\in G,\qquad\alpha(x+y)=0$$

Si \(y=0\), alors on a bien \(\forall x\in F,\alpha(x)=0\)
Si \(x=0\), alors on a bien \(\forall y\in F,\alpha(y)=0\)
On a donc bien $$(F+G)^o\subset F^o\cap G^o$$

\(\supset\) : soit \(\alpha\) tel que $$\forall x\in F,\forall y\in G,\qquad \alpha(x)=0\quad\text{ et }\quad \alpha(y)=0$$

Alors $$\alpha(x+y)=\alpha(x)+\alpha(y)=0$$
Donc \(F^o+G^o\subset(F+G)^o\)
La proposition est donc bien démontrée par double-inclusion